AP微积分真题讲解第二集 导数求取
作者：浩哥一点通，数学不再懵 · 时长 09:04 · 发布于 2023-12-14
视频文字稿
大家好今天我们来讲解一下a p v 积分a b 或者是b c 的导数的求取部分那么首先说明一下本次的这个选题全部是a p v 积分a b 或者是b c 的真题那么微积分a b b c 中的求导部分我们知道导数的加减乘除运算以及它的各类基本公式的求导还有就是复函数隐函数反函数的求导可能在运算中比如说乘除结合着嵌入
和这个隐函数求导那么这个联合求导是微积分a b b c 中的考察比较常见那我们来看一下这个第一题吧那首先第四题呢这是一个fraction function 那么它的求导呢很显然考察的是导数的这个除法法则大家都比较知道对吧那么除法法则要非常熟练v 方分之u 导乘以v 减去v 导乘以u 那么这个时候呢我们直接带入我们的
公式即可即可那么分子的导数就是二分母呢就是三x 加二减去分母的导数就是三分子呢就是二x 加加三这样的话加三这样的话呢我们可以发现呢上面也就是四减九除以一个三x 加二的平方所以等于负五除以什么三x 加二的平方这个题呢就可以选择我们的d 选项那么同样第九题呢我们发现呢
它是一个complete function 它是一个复合函数所以我们首先要求出导函数对吧那么这个题呢f x 那么复函数中呢其实这里面的复合部分呢又含有一部分所以我们要非常小心同时呢考察孩子们对复合函数的这个中的这个整体部分的一个考察那么首先呢整体思想加上一个一的负三x 分之一那这里面呢单独我们要再再求一个
导对吧加上四加上一的负三x 求导那么这里面要小心的地方就是这里了那么一的负三x 本身又是一个负函数对吧所以我们上面求导的时候要小心这个答案是一加零加上一的负三x 那么负三x 本身它是复合部分所以要多乘一个负三x 得到除以下面的就是x 加四加三
一的负三x 所以呢就是等于就是一减三倍的e 的负三x 除以x 加四加上一的负三x 最后呢我们把零代入即可那么就是一减三乘上一的零除以什么呢零加上四加上一的零次方所以答案就是负二除以五所以这一题呢选a 所以这个题呢是当年很多同学也容易犯错误的地方这个就是我们的第二题
我们来看一下第三题那第三题呢就是我刚才老师说的这个导数的这个乘法法则结合着这个嵌入复合函数部分来求导我们可以看一下这个题那么这个题呢我们也是要求大家呢就是前导然后呢后不倒那么它就是不动的加上呢sine 二x 的导sine 二x 我们知道是等于首先是cosine 二x 多乘一个二x 的是等于
二对吧然后再乘上一个x 平方那这样的话它呢我们这个就是二x 乘以sine 的二x 加上二x 平方乘以cosine 二x 我们可以提取一个二x 出来那就剩下一个sine 的二x 加上x 倍的cos 二x 所以呢这个题呢我们答案是选了第五个第五个有个二x 三二x 减x 倍cos 二x 好没有任何问题然后呢我们看一下下面一种题型
就是说它考察的这个slope of nine nine ten 就是切线的斜率那我们知道切线的斜率呢就是导数值但是但是这个题呢它明显的是一个implicit function 是一个复合函数是一个隐函数sorry 是一个隐函数所以的话呢我们要首先求隐函数那我们知道隐函数的步骤呢那么第一步呢就是左右同时求导所以呢我们可以看一下这个答案是同时求导的话那就是三y
的平方减去二x 平方的求导等于六减二倍的x y 的导那么这个呢求导的时候你要小心这里面涉及到进入列式法则所以三乘以二y 做成一个y 导再减去四x 等于零减二倍的那这里面呢又考察了这个乘法法则那我们就是x y 的导对吧这里面小心还有这里刚才要做成一个y 导对吧所以就是六y 乘以
y 导减去四x 等于负二倍的这里面的乘法法的前导呢x 导是一乘以y x 不动乘以y 导那这样的话呢我们把x 等于三y 等于二代入即可所以的十二倍的y 导减去四乘三等于就是负二倍的二加上三倍的y 导所以等于负四减六倍
的y 导所以呢我们就可以得到十八倍的y 导等于负四加上十二就等于八所以y 导就等于八除以十八那么我们得到就是九分之四所以呢我们就可以得到了这个导数值呢就是我们的slope of time mine 这个题呢我们选b 这个题考察的还是综合性比较强的好这个是这一题那我们看一下
二十七题吧f x b 的function delete by 这个函数然后呢这个g x 等于f x 的反函数in read function 那我们知道呢反函数和原函数呢这里面涉及的知识点呢就是如果说f x 呢它passes to point 经过a b 那我们的它的反函数我们知道呢它是passes to point b a 而且它们的导数之间的关系呢every inverse 在b 这一点导数值呢等于原函数呢
在a 这一点导数值的倒数就是recipe al 大家都知道的那所以呢这个题呢我们看到了g 呢是二等于一也就说明奇函数g x 过哪个点呢二一那我们的原函数呢过就是就是过一二这个点对吧过一二这个点那所以呢大家可以看一下你把一带进去的时候哎一的三次方加一是不是等于
二所以是的哈这样的话呢我们在t 二这一点的导数值呢就等于f x 在一这个导数值的倒数那首先呢我们要求导函数导函数呢求完就是三x 平方加一这样的话呢我们得到f 一的导就是三乘一的平方加一就等于四然后我们把四带回到这个表达式中那就是一除以四所以答案就是四分之一这一题考察的就是你反函数求导
它的一个法则反函数求导的一个法则我们再看一个题第四题呢就是复合函数的考察复函函数的考察那我们知道这个是嵌入它可能这一题呢我们包括三层那么这个时候我们该怎么去做呢我们说要考察一个比如说最内层呢我们说它是一个四x 所以我们把v 看成四x 多引入
一个中间变量即可那我们的u 呢就可以等于cosine 的v 那我们的f x 我们写成y 就等于u 的三次方这样的话呢从内到外呢我们就分为了三层第一层第二层第三层我们就可以找到我们的三层所以的话呢这样的时候呢我们的y 导最后就等于这三层各自求导各自求导那可以
等于什么呢四x 的导乘以cosine v 的导乘以乘以u 的三次方的导所以就等于四倍的负的sine v 乘以三u 的平方三u 的平方然后我们把u 和v 还原记得把中间变量还原所以等于负十二倍的sine 的v 呢就是四x 然后u 呢就是cosine v 的平方然后我们再写一步再
写一步然后我们看一下再写一步的话就是最后一步就是再把它还原再写一步就是负十二倍的sine 的四x 乘以cosine 的四x 的平方所以这个题呢我们就找到了我们的答案所以就是选b 这么一个题目这个题呢就是考察中呢它把复函数分的多分了一层
我们一定要理清楚我们的总共这个复函数包括几层