贝赛思BASISPreCalculus P5 Solving Equations Graphically
作者：浩哥一点通，数学不再懵 · 时长 34:58 · 发布于 2026-09-10
章节
- 00:00 35题：奇穿偶不穿法
- 02:36 36-37题：穿针引线应用
- 06:15 38题：系数为负的处理
- 08:54 51-54题：高阶穿针引线
- 17:31 十字相乘法与配方法入门
- 28:40 配方法详解与例题
视频文字稿
35题：奇穿偶不穿法
定行法它的一个应用这个比如说我们昨天这个35题老师讲的这些题我们把这些题如果你学会了这个答案呢就非常快那当然了我们说我们前面讲的就是list table 列表法列表法完之后呢我们画出来一个表格对吧
对他这个表格的话呢你只需要去判断那个什么表格中的那个什么正负值就可以了对吧对那么这道题呢我们也是一样的我们那我们也是一样的比如说35题35题呢我们说老师昨天跟你说了鸡穿偶不穿
那么这个奇和偶是什么意思呢就是说它的右上角的这个次方powerO 比如说35题这个题我们说X 加2乘以X 减3的小于0对吧那么它的右上角相当于是都是ones power one power one power right 对那么one power 的话我们说这个one 是什么数old number 对吧old number 那你就先
先首先找到对应的conre equation 它的solution 是多少就是它对应的方程它的首路选是多少一个是二对不对一个是三对吗然后呢我们sketch number nine 画一条竖轴这个是2这个是什么3那么我们说击穿呕不穿
击穿不穿指的是就是从最大根th e biggest solution 右上方右上方自上而下穿自上而下穿全部都要穿为什么都要穿因为都是一次方穿然后小于0小于0我们就看X 轴什
么方下方的部分这不这一块小于0那所以对应的X 的范围是什么范围呢那就是负二到底就这条线对吧老师穿的话是必须往必须从上面开始
穿还是下面开始穿必须从右上角右上方自上而下穿OK 那OK 这个是这样的一个情况哈所以呢我们的答案呢自上而下传自上而下穿所以这个答案是X 大于2
小于3OK 这个是35题有什么问题吗没有好那么
36-37题：穿针引线应用
36题也是一样的等一下有个有一个小问题有个人给我有个信息稍等一下好我们继续我们继续看一下36题36题36题的话呢X 减
5乘以X 减4大于等于0那么X 减5乘以X 减4大于0一样的首先我们找对应的方程X 减5等于X 加4等于0那么它有两个solution 一个是呢5一个是几呢是对这样的话呢我们把画一条竖轴上画一条上把最小的
小数排到什么边左边左边大树还是什么边右边边然后呢他们都是几次方右上角都是几次方是不是都是一次方对那一次方我们直接穿呢怎么穿刚才说的从最大根的什么方
右上方自上而下穿到这边穿不穿也穿okK 然后他这边什么零你看一下他要求什么零大于等于0对不对对大于等于零的话你就看一下看上方的部分哪一部分上方的部分就是负无穷
这边是负无穷到谁哦4对部分是5到什么无穷正无穷对然后有等于号就什么星十星对吧所以这个答案怎么写那就是负无穷到负4中括号然后5到什么无穷更无穷对明白了吗明白同样的37题你
可以写吗一持应该可以吧你试一下那37比较特别37有什么特别的地方因为讲了因为讲了就很奇怪对他那里面
因为他这个地方你要改变一个形式等一下我们把三个题题拿出来单独说他也不是很奇怪就是说你要认识他怎么写它是X 乘以2X 加7大于等于0对不对对那这个地方呢我们说它是X 乘以2X 加7大于等于0我们
给他改一个形式看我怎么改改成X 减0的1次方这个有问题吗想想没问题没问题对呀这样的话我们就可以使用这个口诀了对不对对那么对应的solution 是一X 等于0对吧一个是等于多少
2分之7对吗对那这样的话我们画一样的画一个这个地方是2分之7这地方是谁零对不对从什么方右上根的右上方对穿过来再穿过来OKO 那么这道题
是大于大于就看上方那么这个地方所以就是负这个负无穷到2分之7还有零到什么无穷更无穷这个范围对吧对所以我们的范围这个答案就是负无穷到2分之7中括号然后0到什么正无穷OK 对那对于那种有的有的有的穿不了的那
种怎么处理一会我们马马上讲哈这个你懂了吗懂了好懂了哈那我们来看一个比较
38题：系数为负的处理
特别的地方那么有一个特别的要说明的地方比如38题这个题我们不能上来就使用穿针引线为什么说38题我们不能上来使用穿针引线呢因为他的最高次是个负数最高次前面的系数是个负数你看一下左边这个东
西我们这个地方我们还不能直接穿引线为什么你看一下如果说我们把这个X 乘入进去之后你看一下这个程序去变什么了2X 减去3X 的平方什么零小于等于0那么这个地方它有个问题我们就不能使用这个口诀因为这个最高次是X 的是几次方平方对不对看到了吗编号呗对它
这里面是个负3它这个是个负数看到了吗所以呢也就是说相当于我在这必须首先我要使用这个口诀的话必须是在这个不等式左右两边先乘个什么号11先乘个负一那么如果先乘个负一的话不等式就变号了变成什么零等于等于0
然后我把这个符号乘进去看一下那就变成什么了X 的3X 减2什么0唉等于你OK O 好传进去之后然后我们再改写成刚才的那个形式就是power 的形式这个时候减去1次方等于3X 减2的
多次方一次方怎么零大于等于0对吧这样的话呢我们就可以得到一个这个是一个是零对不对一个是多少3分之2对不对对所以穿针引线穿团都是一次方所以可以穿对不对对然后大于零的话就是这个区域和这个
区域对吧所以答案就是负无穷到0到0然后可以优炼一下然后这3分之2到成么无穷等熊O OK 懂了没有有所
以这个是非常注意的一个情况就是说如果不等式的最高次最高次幂或者是最高次项它的前面的coeient 系数是负数的话我们一定要先把它转化成什么数正数正数然后再因次分解然后再穿针引线明
白了吗明白好的然后我们来看一个你刚才说的那种高阶的对吧高解的比
51-54题：高阶穿针引线
如说我们刚才讲的这个里面的51525354个问题对吧对好我们来看一下这种题那这种题击穿呕不穿怎么做呢我们来看一下51题51题那51
题呢首先我们说它这里面都保证了每个都是X 减去那我们直接找对应的根对应的根有谁solution 有谁呀一个是4
一个是负对那就摆好顺序了这个是2这个是几4对不对那这个是一次方这是几次方2次方对二次方二次什么数偶数偶数一会儿穿不穿不穿不穿不穿我们就弹回来看老师
怎么画下来穿到二的时候不穿不穿怎么办呢弹穿不过去弹回来就可以了这样画明白了吧OK 这样的话小于零的话就是这个区域加上这个区域对不对所以这道题答案就是负无
穷到2然后还有一个2到几到4就可以了明白了吗就必须要分开写吗能合一起吗为什么不能分开为什么要分开告诉我为什么不能把负二放进去如果你把负二代入是不是等于0呢对人家要
求什么零小于0没有说等于0看到没有哦如果有等于零的话可以直接写成负无穷道计到4OK 看这里面有没有有没有等于号没有没有的话就不能等于就是空的明白明白那我们
看52题那52题你会做了吗应该会呀一中好那你自己做一下好写完之后拍过来好Yeah 发发过来了对不对对了好我们来看一下这个所以这个题呢我把
它接过来这道题是52题对吧对52题有几个有几个solution 有两个solution 一个是3一个是几一对不对对那么
一的话我们说是几次方一次方而三是几次方2次方对不对好非常好就不穿和穿对不对对然后这里面有等于号没有要求是大于你对不对大于你就
看上方就可以了所以直接答案就是负一到什么无穷正无穷就可以了正确那个感感觉我算掌握了对你算掌握了好
n 卖53和54你快速的做一下单5354这两个题好这个题讲完了明白了吗明白等一下我先讲我先想你下学期是九年级还是八年级明年明年八年级下学期八年级是
吧对OK 对好发给过来看一下转一下好这是53题是吧对好我们看一下这个答案做对了没有我们来看一下这道题这个题有几个根呢首先有三
个对不对一个是1一个是2一个是3对吧对然后我们就直
接用成引线那么有一个地方就是二不穿对不对其他地方都可以穿对吗对了那我们看一下这个穿的还是不错的然后栓三是穿的
二不穿弹回来负一对小于点你看什么方下方对不对所以这答案直接是一但是你这个地方就可以合在一起了看到没有你看我你看
他这里面是有等于号对不对有等于号就可以合了是吧所以这个答案直接可以写谁告诉我中括号1到31到3就可以了对吧对是不是这样的对好的他刚才你这对他有等于号可以合在一起嘛对吧没有的话
就不行对吧O 那就54题快速做一下好吧你是是你告诉我答案就可以了或者说1到95中括好有遇到张国琼吗对
吧不对这道题呢我们说这地方你要因次分解测底那这个地方是X 平方减一可以可以因次分解吗A 吗对变成X 加一
乘以谁X 减一对不对这样所以这是几一次方这是一次方对吧所以这个答案不对孩子这几个解呢一个是零对不对一个谁负1
一个一正一对不对对然后再然后我们再穿引线这个穿这个穿不穿不穿这个穿对吧对这样的但但是它都是它是这里面是什么零等于0对吧等于零的话我们就要有可以
可以什么号画实心对不对实心要求什么零大于等于0对不对对所以这道题的解比较特别那答案就是小于等于1还有一个点就是XK 等于0知道吗这个比较特殊还有一个就是
X 大于等于一这三个部分就这里一部分这个部分对吧再加上一个一个点就是零这个点看到了吗OK 所以这个题是这样写OK 这是它的一个solution site 明白明白好这个题很重要你们可以把它记一下笔记
OK 好老师继续吧好的写完了吧好接下来我们
十字相乘法与配方法入门
来讲一下下一节课的内容就是第五节了OK 第五节课的内容就是我们要讲一下这个s equation graphically numerical and algebralyO 我们上面第四节课讲完了对吧对第第
四第五节课的内容呢就是我们来解一下方程通过什么方向的图像法数数代数法或者是这个数字法那这个对于我们来说呢还是比
较简单的比如说我们来第一个题他说serving by finding actioncept graphraphallyt 就是什么图像法对不对我们解图像法图像法然后呢confir confirm 就是确认一下elbreakly 用代数的方法确认一下那么我们说这个图像法呢我们可以去画这个图当然了你们老
师在学校里面可能暂时不会让你们进样去画图吧会不让你们画不用对呀但是如果说你会以抛物线如果你会画的话这个抛物线我们说怎么画你要找到什么我们后面会讲到哈配方对不对然后还有这个求这个顶点和焦
点我们后面再讲那么这个图像画出来之后这个求焦点就比较简单了求焦点有两个点对吧一个点OK 有两个点那么我们最最主要的目前的方法呢就是能够用什么方法代数的法叫algebreakly 那代数法的话我
们前面学过什么方法十字相乘法对吗对那么这道题的十字相乘法你可以表示吗我们说那就是二分解成一和2对吧然后二的话呢就是二和一交叉相乘再相加对吗你还记不记得这个实想乘法打是吧
cross multiplication 记来记得然后呢可以分解成X 减2乘以谁2X 加一等于0这个过程你有问题吗没问题没问题你会是吧对好那所以呢对应的就有X 减2等于0和2X 加一等于0所以就得到我们的答案一个是
一个是2一个是2分之1对吧对这个就是我们的方程的什么solutions of the original equation OK 那你说你会的话老师可以考一个试考一个你试试我看你
是不是真的会O 那比如说你来解1个2X 平方减X 减一等于0你试一下刚起是这决不可是X 加一乘以2X 加2X 减一等于0X 加1乘以谁2X 减一等于0对不对那你刚才是不是用使
用了相乘法十字相乘法那就是说明这是一这是一这是二这是负一对吧对那这样对吗你看这交叉相乘什么叫交叉相乘再求和你看一下这个2乘1是不是等于这相乘对吧它俩先相乘2
乘1再加上1乘1这等于几2减1是等于一呀对那你这个一不是它前面的系数必须是前面这个负一这个X 一次项的系数才行所以这样的话不对哦应该
是怎么样的应该是21这个是一这个是什么正一这个这样摆才行你看因为他这个2乘以1是这样的2乘以1加上1乘1等于2加一等于
一对不对这个才行所以这个答案应该怎么写应该是2X 加1乘以X 减一等于0对吧OK X 等于2分之1和X 等于几一你你是不是感觉这个地方你对我这个方法不太不太适应是吗我们那儿也是
确实字枪很法不是但但但但形式有点不一样不是但是你这个会有问题比如说你刚才这个过程你看一下你把它展开看一下你把你刚才这个结论展开一下你看一下刚才说的这个你看一下是不是说那个
你展开一下explanate 就是2X 平方减X 加2X 减1那等于什么你看一下那就是2X 平方加X 减11样吗跟左边一样吗不一样不一样对吧那就错了所以你一定要去核实一下check 一下就是check 一下什么意思
呢就是你必须保证交叉相乘之后的和是等于中间那个部分好我们这里多多多练几个这一块你要多练哦比如说我随便写几个哈比如说X 平方减X 减6等于0然怎么写呢好就是你分解什么分解这个最高次项
的系数和什么常数项也就是说这地方是个数字它有个一对已省略了对吧还有这个地方的数字是6对吧6你要去分解这两个项交叉相乘我们叫cross multiplication 你应该听过这个单词吧mtiplication 对吧
mplication 第一题是X 加2X 减3等于0对一定是X 加2乘以谁X 减3对吗对这就是有一个2一个是谁正3对吧这个是一这里是一这地
方是3这里是正2对吧对好那下面一个题呢看听不道寝室寝示OKX 减4乘X 减3对不对对好的这个答对了所以X 等于4X 等于几等于3对吧所以这个题就是这样你要熟练好吗好然后我们有一个性质叫zero
factor property 叫做零什么两个数字相乘等于0那么就说明这两个数字各自可能为0对不对所以ifAB equal0thene equal0orB0这个没问题接下来我们就要解1元2次方程solving
quadratic equationsO 那么1元2次方程的话说明我们它的他说cadratic functions are two members
of the linear functions and quadratic functions are two members of the family of the polynomial equations 这个
polynomial 什么意思记得吗多项式对吧这单词can you say clearly Yeses polynoial equations 多项式方程那么多项式方程我们后面会讲得到在第二章ch pter two 这里面我们先讲一下这个cor dratic equation1元2次方程什么叫1元2次方程就是有一个形式can be written in the form AX squared plusBX plus c0where a can t be0A
是能能不能等于零呢对不能如果A 等于0的话它不变成了BX 加C 等于0变成了一次方式了对不对所以A 永远是不能等于0那么A 不等于0A 可能取什么数可以取正数也可以取什么数负数对吧对OK 但是那么那我们怎么去解这个方程呢那么课本上首先提供的一个方法他说除了我们说的factory
就是我们的因式分解我们另一种方法呢就是我们的方法就是我们的配方法就是把它配成这个样子配成AX plus b square equal C 这种形式OK 那首先呢我们来讲一个配方法这个或者是就是说它已经是首先它已经是什么东西已经是一个平方的形式那我们知道左边fining square roots fining square
root 这个我们说这个如果说这个T 对吧T 是什么这个T 平方等于K 当然这个K 必须是什么大于0对吧这个是有几个解两个解对吧要非常小心对吧要小心一个是T 等于什么K 正根号K squareK
一个等于什么负的根号K 看到左边这个标标记了吗看到因为常非常小心这个您可以简单的记一下这个也很重要这个笔记也很重要O and 那我们这样的比如说这左边要右边这个例子他说sve to x one square equals nine 那么这个时候我们就
可以直接什么写出来几个答案呢两个答案对不对那我们要有一个什么思想整体思想对不对就是2X 减1要么等于正的什么根号92X 减一要么等于什么负的根号9对吗对那正的根号9就是正3负的根号9就是3对吗对所以呢这个第一个呢就是2X 等
于4所以X 等于几2那这个呢就是2X 等于2所以X 等于几1对不对对这样的话就是我们的一个已经是说首先它本来就是一个什么已经是一个square 了对不对这个时候
我们就可以直接求这个square roots
配方法详解与例题
那么如果说他上来不是一个什么square 的形式那么这个时候我们就要用配方法叫做completating the square 看到这个单词了吗能看到个单词叫做配方法compleing the square 配方法那么配方法是什么方法我们需要用到两个公式我们曾经学过的公式叫做完
全平方公式这个A square Plusus2AB plus B square equals what A plusB squareyes silarly A square minus2AB B square equalsA minusB squareright
对这两个公式呢就是你要记住我们就是马上用配方法的话就是想把它的这种式子配成这个样子对吧对那好上次我们也讲过了配方法那这个就是这样的所以你看一下他怎
么去配的呢我们说过就是加上什么一次项系数一半的平方还对吧讲过没有前面讲过了对不对所以这个系数是什么这个地方是B 对不对对所以我们要加上它的一半的平方所以所以他说both sides of the equation and fact the left side of the new equation
加上一个2分之B 的平方那这样的话呢我们就可以得到一个完全平方公式为什么它可以变成为这个B 其实就相当于什么公式它确实写完整一点就是可以写成2乘以谁2分之B 对不对这样写可以吗对2乘2分之B 是不
是B 呀这个不就是我们的A 方加2AB 加上加上B 的平方吗所以就可以写成了A 加BX 加2分之B 的平方等于C 加上4分之B 的平方这样的话就是一个配方法的一个过程过程所以呢他说我们一定要加上一个这个一次项
系数一半的平方对吧好我们来玩一个玩一个比较麻烦的我们来看一下我们来讲一个例题吧像这种题我看看我们说这种题有什么有好的思路是怎么做的你能你哥能告诉我吗正好思路可用公
式对我们可以用公式但是我现在让你配方法人家说了对不对bycomping the square 我们可以怎么做去complet ing the square 呢首先20乘以乘以20给它除以2不能说20直接除2你应该怎么办应该是如果你要除的话是不是整个方程都要除以对因为他们是三个一起的嘛对吧因为是三
项嘛是吧是不是总共三项三项如果说你只把20除以2就不行了那变了对吧所以应该是both sidesdivide for right 对both sidesdeide four 所以变成了X square minusfiX plus 17over4equal0
over420right 哎这样的话我们就已经把它什么画的更简单一点对吗更简单点那么这个时候我们怎么去配方呢应该是加上什么东西加上一次项一半的什么平方对吧对那你左边加右边是不是也要加呀对这边也要加一
个2分之5X 平方right 对这样的话这个是什么东西左边这三项组合一下这个是谁你就想想X 减22分之5对为什么是2分之5因为它它这里面
2分之5的平方是不是变成像跟2分之5的平方是一个意思对吧因为对对所以呢就是说它的原型我们可以写的再细致一点如果说你我们可以再写一行对吧我们甚至可以再写一行就是这个五其实相当于是2乘以谁告诉我X 乘以
C2分之5对吗对这个地方呢它其实就是2分之5括号的squarequareright OK 那所以这边是4分之25对吧然后呢这三者这里面有个平方sorry square 那所以这个就是X minus one five
over two square equals 把这个移在什么边右边对吧对10分之25减去4分之17就等于4分之8就是2对吗对这样的话呢我们就然后这个是不是已经比较新已经是一个比较完整的一个完全平方了对不对我们可以直接开方
吧那怎么开方就是X 减2分之5等于什么根据那个这2对吧那一定那就是square root 球And 的Native square root2right 对对这个呢我们就可以再得到第一个solution 就
是five over two plus squared two and this oneX 等于什么Manners square root2right 是所以这样的话我们就可以得到他的一个两个solution 了有问题吗没问题你看下这个整个过程有什么问题没有
没问题好我们看一下课本上是不是这么做的O they are the sameO y are the they are the same as with meOO 他们跟我一样他也是首先除了一个4看到没有divide by fourO 然后呢他把这个4分之7
移到什么边右边可以吧然后complely square 这样的话呢它就是一样的答案所以有两个对不对ok 对O 不对然后我们让我们休息一下好吗好一会儿见这会钟