A P微积分 求取最大值最小值和最值定理
作者：浩哥一点通，数学不再懵 · 时长 18:09 · 发布于 2023-12-05
视频文字稿
hello 大家好今天我们来讲第四章chapter 4 applications of integration differentiation 这个是导数应用第一节呢我们来看一下这个maximum minimum 的就是极大值极小值最大值和最小值的求取那首先呢我们看了几个definition 第一个definition 呢就是我们说的最大值和最小值就是absolute maximum and absurd minimum 那么最大值和最小值来说它是首先我们看到一个区别
它就是这个它定义是在整个domian 上整个定义域上那么在整个第一意义上的老大最大值我们就称为这个最大值整个地域上的一个我们有什么值呢最小值比如说我们这幅图来说大家大家可以看得到那么同时我们还介绍一个定义定义就是叫做极大值和极小值叫太极的极极大值极小值太极的极
那么local maxim 叫极大值翻译成极大值local minimum 翻译成极小值那么它的定义是说在c 的这个附近在c 这个点的附近其他的x 的值的函数值都如果说都比c 小也就是说f c 如果大于等于零f x 的话大于等于f x 的话那我们就说呢c 这一点可以取得极大值同理如果说在c 的附近
其他点的函数值都比这个c 这一点的函数值都是大的话也就是说f c 这个点的函数值是f c 的函数值是最小的那么这个时候我们把f c 叫做什么local minimum 那么大家也看得到这个时候有相当于有四个定义最大值最小值极大值极小值
那么它们的区别是什么呢就是说首先呢这个最大值和最小值它是整个抖音上的就是整个全局上的抖妹上的一个最大值和最小值所以它也叫global maximum 或者是global minimum 那么这个值的最大值和最小值我们统称为最值单词翻译成这个extremely value 所以看到这个单词extreme me value 就成为最值所以说我们后面还会讲到最值定理那么这个极大值和极小值它是一个局部的
范围是一个局部范围比如说一个很形象的比喻就是在我的地盘附近那么我占山为王我我说了算我是老大大或者是我是最小的我们可以看一下这个屏幕屏幕上比如说我们来看一下比如说这一点对吧在它的附近它其他点的函数值都比它什么高
对不对那么所以这一点a 那么在a 这一点我们可以取得极小值就是f a 对吧同样的话在c 这一点也是一样在它的附近你看一下其他点的这个什么函数值都比它高或者说都比它大对不对所以在c 这一点也是什么极小而知同样的话在e 这一点大家可以看得到对不对
所以我们在三个点处a 点c 点和e 点这三个点都可以取得什么值呢极小值那同样的话呢我们看到了这个b 点和这个d 点对吧所以它的附近呢它是占山为王站在最高高峰站在三的巅峰之处在它的附近怎么样呢都是比它什么其他的函数值都比
它什么小所以它就是一个local maxim 那么如果说纵观纵观整个这个区间比如说a 到e 这个区间对不对这是一个close interval 是一个封闭的区间大家也可以看得到那么在a 这一点的函数值是什么最小的我们称为什么absolute minimum 对吧那么同时在低这一点的话呢它的值是什么最大的所以它只有一个最大值
所以说也就是说如果说一个函数有最值有最大值这个最小值的话那么它的最小值最小值是唯一的那么一个函数值可以有什么多个极大值和什么极小值这就是它的一个区别这个我们了解一下就可以了这个所以它们的区别就在这里那么这个就是我要讲的那么首先呢我们今天的第一节课呢我们还讲几个理论吧首先呢讲一个最值定理
这个最值定理呢就是它是这么一个底定理是关于对于一个连续前面连续函数的一个性质就是说f is continuous and a closing to 注意这里面有两个条件第一个条件必须是连续的连续的函数必须是连续的第二个呢函数必须是封闭的区间也就是闭区间只有满足这两个条件的话我们才可以说f a s an absolute maximum value and absolute
minimum 就是如果说函数在b 区间a 到b 上是连续的那么这个时候函数在这个区间内一定可以取得到什么值呢最大值和什么值呢最小值我们把这个定理翻译成最值定理最值定理the extremely value serum 简写成e v t 大家可以记一下e v t 最值定理最值定理
e v t e v t 最值定理也就是说连续函数在闭区间上必有最大值和什么值最小值你把这个这句话记住连续函数在b 区间上必有什么值的最大值和什么值最小子这个是一个定理在一个封闭的区间上主要是你连续连续的那我们前面讲过连续函数在闭区间上
必有最大值和什么值呢最小值这个是最大值最大值最大值这个就是我们说的这个最值定理好那么我们那么我们可以看一下那我们前面讲过连续这个函数图像它是什么样子呢必须是一个光滑的无间断的对不对我们可以看一下右边下边这三个图像大家看一下这个这左边
的这个图像还有中间这个图像还有右边这个图像左中右不管怎么样他们图像是无间断的每一点都是连续的所以他们在这个区间上一定可以取得什么值能最大值和什么值呢最小值那我们的第一个任务还没说完这个理论性比较偏多一点我们再讲一个定理叫做费马
定理叫做费马定理format room 这个定理呢也是因为我这一节课呢是偏比较偏理论的一定让大家什么把它理解透彻理解透彻就是有些锂锭锂咱们一定要理解透彻就是说如果说f 在某一点处取得了极大值或者极小值的话而且导数存在的情况下那么导数值必然等于零
大家看一点左边这个图可以看到左边这个图对吧那么在c 这一点呢取得什么极大值对吧极大值在d 这一点取得什么值呢极小值那么它们有一个水平的切线听懂了吧看到紫色的这条线看到了吗紫色这条线紫红色这条线就是叫做水平切线是叫水平的
所以它的斜率是等于零的我们知道它的斜率等于零所以导数切线的斜率就是导数值对吧我们前面说过切线的斜率导数值所以这个f c 的导怎么等于零f c 的导是等于零的同样的f d 的导也等于什么等于零就是说如果说函数在某一点取得了极大值或者极小值的话而且导数是存在的情况下
那么导数值必然等于零这是费马定理费马定理呢就是告诉我们如果某一点存在的极大值和极小值的话那么到时候这边等于零那么这句话的言外之意是什么意思呢就是说如果说在某一点取得极大值和极小值的话也可能导数值什么不存在对不对那么你能不能举个例子对吧那我们给可以给个例子比如说这个最简最实用的一个例子
就是我们的绝对值函数大家看这个图对吧这个图是y 等于x 的绝对值对吧y 等于x 的绝对值我们知道它是一个这个分段函数它是我它是这样的一个其实它是一个等于什么呢x 如果大于等于零的话就是x 如果x 小于零就是负x 对吧peevy define 的function 我们可以把这个图像画出来
大家看这个图呢它的它是一个分段函数它图像的是在零这一点它是连续的没有没任何问题对吧然后但是在零这一点呢它也是一个什么值呢mini local minimum manu 也是一个极小值因为它在在它的附近没有其他的点比它的什么更小了而且就说白了其他点的函数值都比它
大对吧但是在零这一点的导数值什么不存在的为什么我们讲过这个分段函数我们要求导的话呢我们说因为这个x 我们如果求导的话就是一对不对t 一那么x 如果小于零的话呢这个就是导数就是负x 的导数等于负一那么看到零这一点的这个左导数它是不等于零的这一点的什么东西呢右导数左导数是负一
右导数是什么正一左导不等于右导那么这个时候导数值呢我们就说f 零的这个导数是什么d n e 这个讲的比较详细一点因这个涉及到分段函数的导数我们前面讲过左导呢就是这个导函数的什么左极限右导呢就是导函数的右极限所以在零这一点的时候是不存在不存在
但是不妨碍它有什么极大值或者极小值这就是一个例子所以呢也就是说白了现在有两种情况一种情况呢就是极大值可以取得到但是到极大值可以取导数存在的话导数值等于零另一种情况的话就是极大值极小值也能取得到但是这一点的话导数是什么不存在那么既然那就给给我们一个什么思路就是说我们如果要求极大值和极小值是不是从两个方面找
从两个部分找一个就是说在函数中导数值等于你的点一个就是导数值什么不存在的点就给我们的两个两个思路两个思路那所以呢这个数学家呢就把这个我们的这个极大值就是导数值等于零的点和导数值不存在的点统称一个名称我们叫做critical number critical number critical number 叫definition 我们看下这个definition 叫critical number 翻译成什么东西呢
驻点critical number 我们翻译成驻点在中国这个现在值的高等数学里面的微积分里面翻译成驻点critical number 那么create number 它是首先呢这个c 是这个f 的左边零然后呢如果我f c 的导数等于零或者是f c 的导数什么不存在我们就把它叫做critical number 驻点所以呢给我们的思路就是你去求local maxim 和local minimum 那么第一步就是对这个函数求导函数看看导函数等于零的点或者是导函数什么不存在的点
那么同时呢如果你求完导函数之后发现这个导函数本身就是一个多项式函数的话那我们直接令这个导函数等于什么等于零解出来也就是解这个多项式方程得出来的那么可以叫做什么东西呢criticism o k 好那这样的话呢我们就讲完了这个click m number 的定义critical number 的定义那我们来看一个这个定理怎么去求这节课我们先讲一下怎么去求最大值和最小值的这个
步骤这the interval method 注意我们接下来讲的是求最大值和最小值在下一节课中我们会推怎么去求极大值和小小值local maximum 和local minimum 这个里面有一个absolute maximum absolute mum 那么它的步骤是什么呢第一步我们依然是求导求导干嘛呢就是求这个create number 也就是说令这个导函数等于零或者是寻找
特别是对于一些导函数如果是分式多项式的话我们要看一下分母等于零的情况因为它的分母等于零的话它的导数值是不存在的对不对这个时候我们要小心点第二步呢我们要算一下这个端点处的就是这个end points a 和b 的叫什么函数值我们要算一下什么f a f b 那如果说我们在第一问里面
求出来比如说这个crate number 可能是x 等于c 可能还有比如说x 等于d 之类的那么这个时候第二步里面我们还要算算f c 的值f c 这个函数值还有f d 的函数值那么第三步呢我们就是一个比较比较一下f a f b f c f d 可能是只有一个只有一个click
number 也可能两个或者多个都有可能就比较这些点带到原来的函数function 里面去算出来的函数值的大小那么最大的那个就是什么东西呢我们就称为absolute maxim 那么最小的呢就是是成为什么absolute minimum o k 这就是求最大值和最小值的一个步骤大家可以把它记下来分三步走分三步走好我们来看一下它给
个例题给个例题看怎么讲比如说这么一个题目find the absolute maxim and minimum values of the function 大家看到这个函数呢就是一个封闭的首先注意我们说求最大值和最小值必须是一个封闭的区间这个是一个封闭的区间它就是负二分之一到几呢到四这是一个封闭的区间那么我们的第一步就是对原来的原始的这个
函数是干嘛的求导大家可以看一下在这里求完导之后呢是三x 平方减六x 然后我们提一个什么三x 出来就剩下一个x 减二那我们看一下这是一个整式多项式对吧所以我们直接令它等于零它是就说整式多项式是导数值不成导数值不存在的点是不可能的所以呢要么就是x 等于零还有x
等于几等于二这样的话我们有几个curricle number 有两个crick number 所以there are two cricket numbers 一个是x 等于零一个是x 等于几呢一个是x 等于一一个是x 等于二x 等于二好到这里了之后然后呢我们接下来就是算这个区间端点值
刚才说了对吧区间端点值一个是负二分之一一个四我们要算什么f 负二分之一要算f 四还要算f 零还要算什么f 二大家都带到哪里去呢都带到这个表达式里面它算出来都带到这里面来算算出来之后我们看一下f 零呢这个课本上给出来等于一f 二呢等于负三还有这个
还有一个就是往下走还有一个f 负二分之一等于八分之一还有f 四等于什么十七我们可以比较可以什么而a 选项发现呢这个最大值就是十七这一点它是在哪一点取得呢在四这一点取得的负三它是在哪一点取得呢在二这一点取得的所以呢我们说它有最大值是十七然后最小值是几呢
是这个最小值是咱们的这个f 二等于负四负三对吧f 等于负三最小值是负三那么同时呢我们要做一种表达方式那么考试的时候呢可能问你的是在什么地方取得最大值和最小值比如说考试问的是f has an absolute maxim at 那你要说x x 等于几四f has an absolute minimum at x 等于几呢二那么如果问你是
最大值和最小值你要把它写出来是十七和负三那么是在哪一点取得的那你就不需要去计算了能明白我的意思吗这是这种情况这种情况这种情况所以呢我们可以多举几个例子多举几个例子我们再举一个例子吧比如说这个题对吧比如这个题
我们来找一个题注意它一定是个封闭区呢如果让你求最大值和最小值一定是一个封闭的区间好吧好我们来看一下这么一个题目这么一个题目那么这个题也是让你求什么值的最大值和最小值对吧最大值和最小值那所以呢我们第一步也要干嘛呢
还是依然求导求导也就是我们要求什么click number 对吧所以这是四减二x 因为它等于零所以呢我们的二x 等于四所以我们x 等于二对吧那么这个二大家看到它是在零这个到五的范围对不对是x 大于等于零在我这个范围内那所以接下来我们就要算第二步就是要算f 二的值
函数值还要算什么f 零的函数值还要算谁呀f 五的函数值然后进行比较就可以了哈我们看一下f 二呢就是十二加八减四等于十六f 零呢等于十二f 五呢十二加二十减去二十五对吧等于等于七对吧等于七那这样的话我们就可以说f has f
怎么样呢f x has an a a salute maximum 等于多少呢就是咱们的f 几f 二对吧等于十六就十六对不对那同样的我们还an absolute minimum f 五等于几呢七最小值就是七对吧这就是求最大值和最小值的方法
我们这里面还有很多题来看一下一定是在什么区间呢封闭上都可以去求导然后令它等于零o k 好那么这节课我们就讲到这里大家在屏幕上这个有还有很多题你可以暂停一下可以去做如果有问题加我的微信我们可以给随时可以解答这个问题好吧
我后面还会出一下这个真题真题的讲解